E^ipi + 1 = 0

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E^ipi + 1 = 0

E^ipi + 1 = 0 por lo tanto dios existe

(En los dos últimos pasos hay un poco de agitación. Esto es característico de los argumentos limitantes a este nivel. Los que puedan ver dónde falta el rigor también saben exactamente cómo suplir los pasos que faltan). Por tanto, sea lo que sea $\exp( i x )$, deducimos que debe estar en el círculo unitario.

Observaciones 1.$\;$ Los teoremas de unicidad proporcionan poderosas herramientas para demostrar igualdades para funciones que satisfacen ciertas ecuaciones diferenciales o de diferencia (recurrencia) agradables. Esto incluye una gran mayoría de funciones que se encuentran en la teoría y en la práctica. Estas ideas están detrás de los algoritmos implementados en los sistemas de álgebra computacional; por ejemplo, busque en la literatura computacional los términos «funciones D-finitas» y/o «holonómicas».

Obsérvese que, por encima, no necesitamos conocer la relación de recurrencia precisa. Más bien, sólo necesitamos conocer una cota de su grado, para saber cuántos términos iniciales se necesitan para determinar la solución de forma única. En la práctica, como en el caso anterior, a menudo se pueden derivar fácilmente límites superiores simples sobre el grado de la recurrencia o ecuación diferencial, lo que hace que el método sea aún más práctico.

Prueba de la identidad de euler

La explicación física de la identidad de Euler es que puede verse como la definición teórica de grupo del número $\pi$. La siguiente discusión es a nivel físico pero puede hacerse matemáticamente estricta. El grupo es el grupo de rotaciones de un plano alrededor de 0. De hecho, se puede escribir:

La última ecuación puede verse como la acción de pequeños desplazamientos consecutivos a lo largo del círculo causados por la aplicación de rotaciones infinitesimales que empiezan en 1 y van por la longitud total del arco que une los puntos 1 y -1 en el plano complejo. De hecho, cada pequeño desplazamiento puede escribirse como una multiplicación por

Resumiendo, podemos decir que como el círculo se puede definir a través de la acción del grupo de desplazamientos que preservan la distancia entre un punto y otro punto, surge la relación entre π y e.

Observación: Los tratamientos más modernos de las funciones trigonométricas y exponenciales, para evitar sutiles consideraciones geométricas innecesarias y líos de límites, definen estas funciones mediante sus expansiones de Taylor.

E^iπ+1=0 prueba

cuando se evalúa para x = π. La identidad de Euler se considera un ejemplo de belleza matemática, ya que muestra una profunda conexión entre los números más fundamentales de las matemáticas. Además, se utiliza directamente en una prueba[3][4] de que π es trascendental, lo que implica la imposibilidad de cuadrar el círculo.

La identidad de Euler se cita a menudo como un ejemplo de belleza matemática profunda[5] Tres de las operaciones aritméticas básicas ocurren exactamente una vez cada una: suma, multiplicación y exponenciación. La identidad también relaciona cinco constantes matemáticas fundamentales:[6]

El profesor de matemáticas de la Universidad de Stanford, Keith Devlin, ha dicho que «como un soneto de Shakespeare que capta la esencia misma del amor, o un cuadro que pone de manifiesto la belleza de la forma humana que va mucho más allá de la piel, la ecuación de Euler llega a lo más profundo de la existencia»[7]. [Y Paul Nahin, profesor emérito de la Universidad de New Hampshire, que ha escrito un libro dedicado a la fórmula de Euler y sus aplicaciones en el análisis de Fourier, describe la identidad de Euler como «de una belleza exquisita»[8].

E^i theta

Ahora, para ver por qué esta fórmula es de hecho notable, pasar un minuto pensando en cómo la misma constante que acabamos de definir (utilizando series de potencia, análisis complejo, y el cálculo) también satisface la siguiente:

Él dijo que le parece muy bien, yo estaba más en el lado de «se ha demostrado, he seguido la prueba, así que lo he aceptado» v.s. la comprensión intuitiva. No siempre es la mejor manera lo reconozco. Me gustaría leerlo al menos.

Esta forma de ver el problema parece que lo hace bastante trivial, pero hay que admitir que cuando Euler encontró esta relación, le pareció bastante inusual y hermosa – principalmente porque muchos de los argumentos anteriores no eran totalmente rigurosos entonces (podría estar equivocado aquí).